2019-2020学年永州市宁远县七年级下学期期中数学试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 二元一次方程3𝑥+𝑦=8的正整数解有( )

A. 2个 B. 3个

1

C. 4个 D. 5个

𝑎𝑥−3𝑦=5𝑥=2

2. 在方程组{中，如果{是它的一个解，那么a，b的值是( )

2𝑥+𝑏𝑦=1𝑦=−1

A. 𝑎=4，𝑏=0

B. 𝑎=2，𝑏=0

1

C. 𝑎=1，𝑏=2 D. a，b不能确定

3. 下列计算正确的是( )

A. 𝑎𝑚+1+𝑎𝑚−1=𝑎2𝑚 C. (𝑎3)2=𝑎9

B. 𝑎3÷𝑎=𝑎3 D. 𝑎2⋅𝑎4=𝑎6

4. 若𝑎2−𝑏2=3，则(𝑎+𝑏)2(𝑎−𝑏)2的值是( )

A. 3 B. 6 C. 9 D. 18

5. 下列从左到右的变形中是因式分解的是( )

A. (𝑥+𝑦)2=𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2 C. 𝑚2+𝑚−3=𝑚(𝑚+1)−3

6. 下列因式分解中正确的是( )

B. 𝑥2−5𝑥+6=(𝑥−2)(𝑥−3) D. 5𝑥2−3𝑥𝑦+𝑥=𝑥(5𝑥−3𝑦)

A. B. C. D.

2𝑥+𝑦=4

7. 已知方程组{，则𝑥−𝑦的值为( )

𝑥+2𝑦=1

A. 3 5

B. 2 C. 3 D. −2

8. 要把面值为10元一张的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，则有几种换

法( )

A. 5种 B. 6种 C. 8种 D. 10种

9. 下列计算正确的是( )

A. 𝑎2⋅𝑎3=𝑎6 B. (2𝑎)3=2𝑎3 C. 𝑎3+𝑎3=𝑎6 D. (𝑎2)3=𝑎6

10. 下列多项式中，分解因式后含有因式(𝑎+3)的是( )

A. 𝑎2−6𝑎+9 B. 𝑎2+2𝑎−3 C. 𝑎2−6 D. 𝑎2−3𝑎

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11. 在二元一次方程𝑥−2𝑦=3中，当𝑥=1时，𝑦= ______ ．

12. 初2019级即将迎来中考，很多家长都在为孩子准备营养午餐．一家快餐店看准了商机，在5月

5号推出了A，B，C三种营养套餐．套餐C单价比套餐A贵5元，三种套餐的单价均为整数，其中A套餐比C套餐少卖12份，B套餐比C套餐少卖6份，且C套餐当天卖出的数量大于26且不超过32，当天总销售量为偶数且当天销售额达到了1830元，商家发现C套餐很受欢迎，因此在6号加推出了C套餐升级版D套餐，四种套餐同时售卖，A套餐比5号销售量减少，C套餐比5号销售量增加3，且A减少的份数比C套餐增加的份数多5份，B套餐销售量不变，由于商家人手限制，两天的总销售量相同，则其他套餐单价不变的情况下，D套餐至少比C套餐费贵______时，才能使6号销售额达到1950元．

13. 李明要做一个棱长为103𝑚𝑚的立方体纸箱，则这个纸箱的容积是______𝑚𝑚3． 14. 分解因式：−𝑚𝑥2−6𝑚𝑥−9𝑚=______．

15. 已知2𝑚+5𝑛−3=0，则4𝑚÷32−𝑛的值为______． 16. 若𝑥2−3𝑥−2=0，则

(𝑥−1)3−𝑥2+1

𝑥−11

= ______ ．

𝑥+𝑦−5𝑧=0

17. 已知{，则x：y：𝑧= ______ ．

3𝑥−3𝑦−𝑧=018. 当𝑥=−2时，则代数式𝑥+1的值是______． 三、解答题（本大题共9小题，共78.0分） 19. 分解因式：(3𝑥+1)(𝑥−3)+8𝑥

𝑥+2𝑦=4𝑘

20. 若关于x、y的二元一次方程组{的解也是二元一次方程2𝑥+3𝑦=−7的解，则k的

𝑥−𝑦=𝑘

值是多少？ 21. 化简：

(1)𝑎(𝑎−2𝑏)−(𝑎+𝑏)2 𝑥2−3𝑥5(2)2+(−𝑥+2)

𝑥+2𝑥𝑥+2

22. 探索为了计算1+3+32+33+⋯+32012+32013的值，我们可以设𝑆=1+3+32+33+⋯+

32012+32013①，

则①×3得，3𝑆=3+32+33+⋯+32012+32013+32014②，②−①得，2𝑆=32014−1，𝑆=

32014−1

2

32014−1

2

所以，1+3+32+33+⋯+32012+32013=

请你计算：1+5+52+53+⋯+52013+52014的值．

𝑎

23. 符号∣∣∣𝑐

𝑏∣𝑎∣∣称为二阶行列式，规定它的运算法则为∣∣𝑐𝑑∣

𝑏∣35∣∣=𝑎𝑑−𝑏𝑐∣，例如：∣∣47∣∣=3×7−𝑑∣

2𝑎−13𝑎+5∣

4×5=21−20=1.请你根据阅读材料化简下面的二阶行列式：∣∣∣𝑎−52𝑎+1∣∣，并求当𝑎=−5时，该二阶行列式的值．

24. 建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量

为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方．

(1)问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？

(2)在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？

25. 某校举行研学旅行活动，车上准备了7箱矿泉水，每箱的瓶数相同，到达目的地后，先从车上

搬下3箱，发给每位同学1瓶矿泉水，有9位同学未领到．接着又从车上搬下4箱，继续分发，最后每位同学都有2瓶矿泉水，还剩下6瓶．问：有多少人参加此次研学旅行活动？每箱矿泉水有多少瓶？

3𝑥+5𝑦=𝑚+2

26. 关于x，y方程组{满足x、y和等于2，求𝑚2+2𝑚+1的值．

2𝑥+3𝑦=𝑚

27. 分解因式：𝑥3−2𝑥2−3𝑥

【答案与解析】

1.答案：A

解析：解：当𝑥=1时，3×1+𝑦=8，解得𝑦=5， 当𝑥=2时，3×2+𝑦=8，解得𝑦=2，

当𝑥=3时，3×3+𝑦=8，解得𝑦=−1(不符合题意，舍去)， 𝑥=1𝑥=2

所以，方程的正整数解是{，{，

𝑦=5𝑦=2∴二元一次方程3𝑥+𝑦=8的正整数解有2个． 故选：A．

采用列举法求得方程的所有正整数解即可．

本题考查了二元一次方程的解，给出一个未知数的值求出另一个未知数的值即可，本题先给出x的值比先给出y的值简单．

2.答案：A

𝑎+3=5

解析：解：将x，y的值代入原方程组，得关于a，b的方程组{2，

1−𝑏=1解此方程组得𝑎=4，𝑏=0． 故选A．

1

3.答案：D

解析：解：(𝐴)原式=𝑎𝑚+1+𝑎𝑚−1，故A错误； (𝐵)原式=𝑎2，故B错误； (𝐶)原式=𝑎6，故C错误； 故选：D．

根据整式的运算法则即可求出答案．

本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．

4.答案：C

解析：解：原式=[(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)]2 =(𝑎2−𝑏2)2

∵𝑎2−𝑏2=3， ∴原式=9， 故选：C．

根据平方差公式即可求出答案．

本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．

5.答案：B

解析：解：从左到右的变形中是因式分解的是𝑥2−5𝑥+6=(𝑥−2)(𝑥−3)， 故选：B．

利用因式分解的意义判断即可．

此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．

6.答案：B

解析：本题主要考查提取公因式法和公式法进行因式分解，还要注意分解因式要彻底．

A.，故错误；

B，故正确；

C.𝑥(𝑎−𝑏)−𝑦(𝑏−𝑎)=(𝑥+𝑦)(𝑎−𝑏)，故错误；

，故错误;

D.

故选B

7.答案：C

解析：解：由方程组可得：2𝑥+𝑦−(𝑥+2𝑦)=4−1=3， 则𝑥−𝑦=3， 故选：C．

直接利用两方程相减得出𝑥−𝑦的值．

此题主要考查了解二元一次方程组，利用整体思想分析是解题关键．

8.答案：B

解析：解：设需要面值2元的x张，面值1元y张，由题意，得 2𝑥+𝑦=10， 𝑦=10−2𝑥．

𝑥≥0，𝑦≥0，且x、y为整数． ∴10−2𝑥≥0， ∴𝑥≤5． ∴0≤𝑥≤5，

∴𝑥=0，1，2，3，4，5， 当𝑥=0时，𝑦=10， 当𝑥=1时，𝑦=8， 当𝑥=2时，𝑦=6， 当𝑥=3时，𝑦=4， 当𝑥=4时，𝑦=2， 当𝑥=5时，𝑦=0． 综上所述，共有6种换法． 故选：B．

设需要面值2元的x张，面值1元y张，根据1元和2元的面值综合为10元建立方程求出其解即可． 本题考查了列二元一次不定方程额实际问题的运用，二元一次不定方程的解法的运用，解答时合理运用隐含条件𝑥≥0，𝑦≥0，且x、y为整数是关键．

9.答案：D

解析：解：A、应为𝑎2⋅𝑎3=𝑎2+3=𝑎5，故本选项错误； B、应为(2𝑎)3=8𝑎3，故本选项错误； C、应为𝑎3+𝑎3=2𝑎3，故本选项错误； D、(𝑎2)3=𝑎2×3=𝑎6，正确． 故选D．

根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．

10.答案：B

解析：解：A、𝑎2−6𝑎+9=(𝑎−3)2，分解因式后不含有因式(𝑎+3)，故选项错误； B、𝑎2+2𝑎−3=(𝑎+3)(𝑎−1)，分解因式后含有因式(𝑎+3)，故选项正确； C、𝑎2−6=(𝑎+√6)(𝑎−√6)，分解因式后不含有因式(𝑎+3)，故选项错误； D、𝑎2−3𝑎=𝑎(𝑎−3)，分解因式后不含有因式(𝑎+3)，故选项错误． 故选：B．

A、根据完全平方公式分解因式即可作出判断； B、根据十字相乘法分解因式即可作出判断； C、根据平方差公式分解因式即可作出判断； D、根据提公因式法分解因式即可作出判断．

本题考查了公式法分解因式，提公因式法分解因式，熟练掌握运算法则和公式的结构特点是解题的关键．

11.答案：−1

解析：解：将𝑥=1代入方程得：1−2𝑦=3， 解得：𝑦=−1． 故答案为：−1

将x的值代入计算即可求出y的值．

此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．

12.答案：9元

解析：解：设5号时，A套餐单价为x元，销售量为y份，B套餐单价为z元，6号时，D套餐比C套餐贵a元时，才能使6号销售额达到1950元．则5号时，C套餐单价为(𝑥+5)元，B套餐销量为(𝑦+6)份，C套餐销售(𝑦+12)份； ∵两天的总销售量相同， ∴𝐷套餐6号的销量为5份，

26<𝑦+12≤32①

由题意得：{𝑥𝑦+𝑧(𝑦+6)+(𝑥+5)(𝑦+12)=1830②，

11

𝑥[𝑦−3(𝑦+12)−5]+𝑧(𝑦+6)+(1+3)(𝑦+12)(𝑥+5)+5(𝑎+𝑥+5)=1950③由①得：14<𝑦≤20， ∵𝑦是整数，

∴𝑦=15，16，17，18，19，20，

5号时销量为偶数，即𝑦+𝑦+6+𝑦+12=3𝑥+18， ∴符合条件的y值为16，18，20，

由②得：把𝑦=16代入，16𝑥+22𝑧+28(𝑥+5)=1830， 44𝑥+22𝑧=1690， 2𝑥+𝑧=

84511

，方程无整数解，不符合题意，

把𝑦=18代入，18𝑥+24𝑧+30(𝑥+5)=1830， 48𝑥+24𝑧=1680④，

把𝑥=20代入，20𝑥+26𝑧+32(𝑥+5)=1830， 52𝑥+26𝑧=1670， 方程无整数解，不符合题意， ∴𝑦=18，

把𝑦=18代入③中得：𝑥(18−10−5)+24𝑧+3×30(𝑥+5)+5(𝑎+𝑥+5)=1950， 5𝑎+48𝑥+24𝑧=1725， 5𝑎=1725−1680=45， 𝑎=9，

故答案为：9元．

设5号时，A套餐单价为x元，销售量为y份，B套餐单价为z元，6号时，D套餐比C套餐贵a元时，才能使6号销售额达到1950元．则5号时，C套餐单价为(𝑥+5)元，B套餐销量为(𝑦+6)份，C套餐销售(𝑦+12)份；先根据两天的总销售量相同，可得D套餐6号的销量为5份，根据C套餐当天卖出的数量大于26且不超过32，列式26<𝑦≤32，根据当天总销售量为偶数且当天销售额达到了1830元，列两式：𝑦+𝑦+6+𝑦+12=3𝑦+18，是偶数，再根据销售额达到了1830元，再列一等式，最后再根据6号销售额达到1950元．列等式，综合解出即可．

本题考查一元一次不等式和二元一次方程的整数解的综合应用，解题关键是读懂题意，根据题中所

4

述找出其中的数量关系．

13.答案：109

解析：解：这个纸箱的容积为：(103)3=109(𝑚𝑚3). 故答案为：109．

根据体积公式：𝑣=𝑎3，把数据分别代入公式解答即可．

本题主要考查了幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

14.答案：−𝑚(𝑥+3)2

解析：解：原式=−𝑚(𝑥2+6𝑥+9)=−𝑚(𝑥+3)2 故答案为：−𝑚(𝑥+3)2

根据因式分解的方法即可求出答案．

本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．

15.答案：8

解析：解：4𝑚÷32−𝑛=22𝑚÷2−5𝑛=22𝑚+5𝑛=23=8， 故答案为：8．

将原式变形为原式═22𝑚÷2−5𝑛=22𝑚+5𝑛=23可得答案． 本题主要考查幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．

16.答案：2

解析：解：∵𝑥2−3𝑥−2=0， ∴𝑥2−3𝑥=2，

(𝑥−1)3−𝑥2+1

𝑥−1

，

，

=

(𝑥−1)2(𝑥−1)−(𝑥+1)(𝑥−1)

𝑥−1

=(𝑥−1)2−(𝑥+1)， =𝑥2−3𝑥，

当𝑥2−3𝑥=2时，原式=𝑥2−3𝑥=2． 故本题答案为：2．

把原式化简成含有𝑥2−3𝑥的式子，再把𝑥2−3𝑥−2=0，代入计算．

本题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，提取公因式(𝑥−1)后再约分是化简的关键，注意解题中的整体代入思想．

17.答案：8：7：3

解析：解：解关于x，y的方程组， 得𝑥=3𝑧，𝑦=3𝑧， 所以x：y：𝑧=8：7：3． 故本题答案为：8：7：3．

理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把x，y用z表示出来，代入代数式求值． 本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．

8

7

18.答案：−1

解析：解：当𝑥=−2时，𝑥+1=−2+1=−1． 故答案为：−1． 将𝑥=−2代入计算即可．

本题主要考查的是求代数式的值，掌握有理数的加法法则是解题的关键．

19.答案：解：(3𝑥+1)(𝑥−3)+8𝑥

=3𝑥2−8𝑥−3+8𝑥 =3𝑥2−3

=3(𝑥+1)(𝑥−1)．

解析：首先去括号，进而合并同类项，再利用提取公因式法以及公式法分解因式得出答案． 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．

20.答案：解：解方程组{𝑥−𝑦=𝑘

𝑥=2𝑘将{代入2𝑥+3𝑦=−7， 𝑦=𝑘得：2×2𝑘+3×𝑘=−7， 解得：𝑘=−1．

𝑥+2𝑦=4𝑘

𝑥=2𝑘，得{，

𝑦=𝑘

𝑥+2𝑦=4𝑘𝑥=2𝑘𝑥=2𝑘

解析：先求出方程组{的解为{，再将{代入2𝑥+3𝑦=−7，即可得方程：

𝑦=𝑘𝑦=𝑘𝑥−𝑦=𝑘2×2𝑘+3×𝑘=−7，继而求得答案．

此题考查了二元一次方程的解以及二元一次方程的解法．此题难度适中，注意掌握消元思想的应用．

21.答案：解：(1)𝑎(𝑎−2𝑏)−(𝑎+𝑏)2

=𝑎2−2𝑎𝑏−𝑎2−𝑎𝑏−𝑏2

=−3𝑎𝑏−𝑏2；

𝑥2−3𝑥5

(2)2+(−𝑥+2) 𝑥+2𝑥𝑥+2𝑥(𝑥−3)5−(𝑥−2)(𝑥+2)=+ 𝑥(𝑥+2)𝑥+2𝑥−39−𝑥2

=+

𝑥+2𝑥+2−(𝑥+2)(𝑥−3)

=

𝑥+2=3−𝑥．

解析：(1)直接利用整式的乘法运算法则计算得出答案；

(2)首先将括号里面通分运算，进而利用分式的加减运算法则计算得出答案．

此题主要考查了分式的加减运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

22.答案：解：设𝑆=1+5+52+53+⋯+52013+52014①，

则①×5得：5𝑆=5+52+53+⋯+52014+52015②， ②−①得：4𝑆=52015−1，即𝑆=则1+5+5+5+⋯+5

2

3

2013

52015−1

4

，

．

+5

2014

=

52015−1

4

解析：设𝑆=1+5+52+53+⋯+52013+52014①，两边乘以5变形得到②，②−①求出S，即为原式的值．

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

23.答案：解：根据题中的新定义得：(2𝑎−1)(2𝑎+1)−(𝑎−5)(3𝑎+5)=4𝑎2−1−3𝑎2+10𝑎+

25=𝑎2+10𝑎+24，

当𝑎=−5时，原式=25−50+24=49−50=−1．

解析：原式利用已知的新定义化简得到结果，把a的值代入计算即可求出值． 此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

24.答案：解：(1)设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土

方量为y万立方，

150(𝑥+𝑦)=120

根据题意得：{，

110𝑥+(40+110)𝑦=103.2𝑥=0.42

解得：{．

𝑦=0.38

答：甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方．

(2)设乙队平均每天的施工土方量比原来提高a万立方才能保证按时完成任务， 根据题意得：110×0.42+(40+110)×(0.38+𝑎)≥120， 解得：𝑎≥0.112．

答：乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务．

解析：(1)设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，根据“甲乙两队合作150天完成土方量120万立方，甲队施工110天、乙队施工150天完成土方量103.2万立方”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设乙队平均每天的施工土方量比原来提高a万立方才能保证按时完成任务，根据完成工作的总量=甲队完成的土方量+乙队完成的土方量，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出关于a的一元一次不等式．

25.答案：解：设有x人参加此次研学旅行活动，每箱矿泉水有y瓶，

3𝑦+9=𝑥

根据题意得：{，

(3+4)𝑦−6=2𝑥𝑥=81

解得：{．

𝑦=24

答：有81人参加此次研学旅行活动，每箱矿泉水有24瓶．

解析：设有x人参加此次研学旅行活动，每箱矿泉水有y瓶，根据“3箱矿泉水每人分1瓶少9瓶，7箱矿泉水每人分2瓶多6瓶”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

26.答案：解：①−②得：𝑥+2𝑦=2

𝑥+2𝑦=2𝑥=2联立{，解得{

𝑦=0 𝑥+𝑦=2

∴𝑚=2𝑥+3𝑦=4

𝑚2+2𝑚+1=(1+𝑚)2=25．

解析：①−②消去m，得出新方程，与𝑥+𝑦=2联立求x、y的值，再求m，计算式子的值． 本题考查了含字母系数的方程组的解法，可以消去字母系数，先求未知数的值，再求字母系数．

27.答案：解：𝑥3−2𝑥2−3𝑥=𝑥(𝑥2−2𝑥−3)=𝑥(𝑥−3)(𝑥+1)．

解析：先提取公因式x，再用十字相乘法继续分解即可． 本题考查因式分解；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．