2016考研数学一真题及答案解析

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.．．．1、若反常积分



0

1

dx收敛，则ab

(x1x)

（B）a1且b1.（D）a1且ab1.（A）a1且b1.（C）a1且ab1.2、已知函数f(x)2(x1),x1,则f(x)的一个原函数是x1,lnx,(x1)2,x1.（A）F(x)x(lnx1),x1.(x1)2,x1.

（C）F(x)

x(lnx1)1,x1.

22(x1)2,x1.

（B）F(x)

x(lnx1)1,x1.(x1)2,x1.

（D）F(x)

x(lnx1)1,x1.

'

3、若y(1x)21x2，y(1x)21x2是微分方程yp(x)yq(x)的两个解，则q(x)（A）3x(1x).（C）2（B）3x(1x).（D）2x.21xx.21xx,4、已知函数f(x)1,nx0,则11x,n1,2,,n1n（B）x0是f(x)的第二类间断点.（D）f(x)在x0处可导.（A）x0是f(x)的第一类间断点.（C）f(x)在x0处连续但不可导.5、设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（A）A与B相似.（C）AA与BB相似.22TT

（B）A与B相似.T

11T

（D）AA与BB相似.11

26、设二次型f(x1,x2,x3)x1x2x34x1x24x1x34x2x3，则f(x1,x2,x3)2在空间直角坐标下表示的二次曲面为（A）单叶双曲面（C）椭球面7、设随机变量X~N(,)(0)，记pP{X（A）p随着的增加而增加（C）p随着的增加而减少2

（B）双叶双曲面（D）柱面2}，则（B）p随着的增加而增加（D）p随着的增加而减少8、随机试验E有三种两两不相容的结果A1，A2，A3，且三种结果发生的概率均为1，将3试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A2发生的次数，则X与Y的相关系数为（A）12（B）

13

（C）13（D）12

指定位置上.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．9、limx0x0tln(1tsint)dt1cosx2_______.10、向量场A(x,y,z)(xyz)ixyjzk的旋度rotA_______.

211、设函数f(u,v)可微，zz(x,y)由方程(x1)zyx2f(xz,y)确定，则dz|(0,1)______.12、设函数f(x)arctanxx，且f(0)1，则a______.21ax1001

13、行列式004

3

200

______.11

2

14、设x1,x2,,xn为来自总体N(,)的简单随机样本，样本均值x9.5，参数的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）已知平面区域D=(r,)|2r2(1cos),2，计算二重积分xdxdy.2D（本题满分10分）16、设函数y(x)满足方程y2yky0，其中0k1.（1）证明：反常积分0y(x)dx收敛；0（2）若y(0)1，y(0)1，求17、（本题满分10分）设函数f(x,y)满足y(x)dx的值.f(x,y)2(2x1)exy，且f(0,y)y1，Lt是从点(0,0)到点x

Lt

(1,t)的光滑曲线。计算曲线积分I(t)

18、（本题满分10分）f(x,y)f(x,y)

dxdy，并求I(t)的最小值.xy

设有界区域由平面2xy2z2与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分I

2

(x1)dydz2ydzdx3zdxdy.

（本题满分10分）19、且f(0)1，已知函数f(x)可导，0f(x)1.设数列xn满足xn1f(xn)(n1,2).2（1）级数证明：(xn1n1xn)绝对收敛；（2）limxn存在，且0limxn2.

nn

20、（本题满分11分）21112，.设矩形A2a1B1a11aa12当a为何值时，方程AXB无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求此方程.21、（本题满分11分）011已知矩阵A230000（1）求A99100（2）设3阶矩阵B(1,2,3)满足BBA。记B(1,2,3)，将1,2,3分别2表示为1,2,3的线性组合。（本题满分11分）22、设二维随机变量(X,Y)在区域D(x,y)|0x1,xy

2x上服从均匀分布，令U1,0,XY.XY.（1）写出(X,Y)的概率密度；（2）问U与X是否相互独立？并说明理由；（3）求ZUX的分布函数F(z).（本题满分11分）23、3x2



+）设总体的概率密度为f(x,)3为未知参数，（0，,0x,其中0,其他，X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本，令Tmax(X1,X2,X3)，（Ⅰ）求T的概率密度；（Ⅱ）确定a，使得aT为的无偏估计.2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析

一、选择（1）考察反常积分的定义（即反常积分的简单计算）选C。只有当a,b均已知时，才有计算的可能，直接计算行不通。因此应先赋值，再计算。综上本题采用“特例排除法”：取a0，须b1，此时反常积分存在，即收敛，排除B,D；取a3，原式变成1xdx，易知，b20bx3时，分子幂次高于分母，x3

1x2

可分解出一个x，则积分结果为，反常积分不存在，排除A。相比往年类似考点，较难。（2）考察原函数的定义。选D。直接计算即可。x1,2x1dxx1C1；x1,lnxdxxlnxxC2；2观察选项，排除B,C。一元函数可导必连续，排除A。较易。（3）考察非齐次方程解的性质选A。即21x是齐次解，去系数2依非齐次方程的两个解作减法是对应齐次方程的解，旧是齐次解，代入齐次方程，记作方程①；非齐次方程的两个解取平均值，仍是非齐次方程的解，即1x222是非齐次解，代入非齐次方程，记作方程②；方程①②联立可得qx。（4）考察极限的定义，函数的连续与间断（和网上答案不一样，网上答案选D）选B。考察一个函数在某点的极限或连续性或可导性，首先至少须保证函数在该点的去心领域有定义。观察题干条件，x0的“右领域”有“问题”，函数在0,右极限不存在，因此可直接排除A,C,D。较难。（5）考察相似的充要条件：ABPAPB,P1选C。可先将题目等效为：已知PAPB，记作式①，验证选项“ABCD”的正确性。基本思路：由已知通向未知是联系过去与未来的重要途径。考察A：式①两边同时转置得T1上无定义，n111PA

TP

1TPA

TTP

T1

1P

T11ATPTBT，符合；1同理，式①两边同时取逆得PA1PB1，记作式②，符合；式①+②，即得P1AA1PBB1，D亦符合。难度持平。（6）考察二次型之惯性定理与二次曲面的方程选B。思路：根据二次曲面的方程可知：单页双曲面：p2,q1；双页双曲面：p1,q2；椭球面：p3,q0；柱面：pq3，p,q视具体情况而定。采用配方法或特征值法均可很快确定本题二次型p1,q2，所以选B。较新颖。（7）考察一般正态分布的概率计算选B。pP

X，其中x是标准正态分布的分布函数，分布函数

单调不减。较易（8）考察相关系数的计算选A。XY1COV(X,Y)EXYEXEY1

。易知XB(2,),YB(2,)，所以33DXDYDXDY24

EXEY,DXDY；求XY的分布列：39

XY0 124 P

2

009

，EXY21；代入得XY。持平。92二、填空（9）考察0型未定式极限。0xln1xsinx1x2sinx1

。原式lim。较易lim

x0x022x32x32

（10）考察旋度公式jy1k。较易求导，可得（11）考察多元函数之隐函数求导dx2dy。0,1代入原方程，得z1。方程两边同时对x或y

zxz(1,0),y(1,0)。（12）考察泰勒公式与幂级数展开。11312。arctanxxx，1ax，所以221ax3arctanx

x132

xxx1ax2

f0111ax3，(a)a。33213

(a)x

3

持平（13）考察行列式的计算432234。1

1

4

3

2

11，只需要从第四列开始，后一列的倍加到前一列，最后得01010，沿第一列展开即得。较难143211（14）考察一个正态总体的置信区间（8.2,10.8）。代入公式Xun,Xu22即可，其中nXu2

n10.8u2n1.3。较易。三、计算题（15）考察极坐标系下的二重积分计算xdxdyd2D221cos2cosd5323较易。（16）考察反常积分的计算以及二阶常系数线性齐次微分方程的求解。（Ｉ）证明：（依据反常积分定义）y2yky0yC1e1xC2e2x其中111k,211k，代入反常积分得0CCCC21yxdx12121212反常积分存在，所以反常积分收敛。（II）解：（常微分方程中的初值问题，两个初值条件求两个任意常数C1,C2）21C1122C1C21y(0)121

，又，代入得ky(0)1CC111211221C

221

3y0xdxk。较易。（17）考察偏导积分求二元函数，积分与路径无关。解：由偏导积分法：fx,yf(x,y)2dxxexyy，又f0,yyy1x

fx,yxe2xyy1。易判断此曲线积分的积分结果与路径无关。Itfx,y1,t0,0te2t

进而易知ItminI23。较难。（18）考察高斯公式与三重积分。解：由高斯公式得I2x1dv（先二后一法）

1

。（较易）2

（19）考察无穷级数收敛性证明，以及拉格朗日中值定理的运用。（Ｉ）即证xn1n1xn的收敛性。（一般比较法）xn1xnfxnfxn1fxnxn1fxnxn111xnxn122n1x2x1，显然右端构成的级数收敛，所以原命题成立。（II）考察绝对收敛的性质，及微分中值定理的运用。观察发现xn1n1n1xn展开后即可“加一项消一项”。易知xn1xn收敛，所以limSnlimxn1x1Alimxn1Ax1，其中AlimSn

nnnn

所以limxn存在，记为C。n由xn1fxnf0fxn，在0与xn之间。两边取极限得C1，易判断原命题成立。1f较难。（20）考察矩阵方程的求解122110a233a4A,B00a1a10（i）a1时11122100110111101111A,B000000000011进而可得Bk11k21，k1,k2为任意常数。无穷解。kk21（ii）a2时11122111220033600006A,B0033000330易知无解。（iii）a2且a1时122110a233a4A,B00a1a10唯一解。3a1a24a。B0a210难度持平。（21）1

（Ｉ）分析：考察方阵的n次幂，在本题条件下，易联想到PAPAPP



n

n

1

易得A的特征值及对应的特征向量为101322T0T，则P1AP,212110，记P1,2,3132T3120229919922980012A99P99P1222100121002299，其中P1212

0001

112

（II）考察矩阵乘法。由B2BAB100BA99229912992298即100991,2,32212100221,2,30002299129922981001,2,3221210022991,2,300012299122100221299100112232298122992难度持平（22）考察多维随机变量的分布函数、概率密度以及相互独立的概念（Ｉ）二维均匀分布概率密度：即求区域D面积（二重积分），再代公式。fx,y

3, 0x1,x2yx0,

其他（II）思路：先考察相互独立的必要条件是否成立。如验证PU1,X12PU1P1X2是否成立21x1113PU1,XPXY,X2dx3dy0x22281111PU1,PX，代入，等式不成立，必要条件不满足，所以不相互2228独立。（III）考察“离散+连续型随机变量”的分布函数易知0Z2当z0,Fz0，z2,Fz1，当0z2时FzPZzPUXzPU1,1XzPU0,XzPXY,Xz1PXY,Xz323zz,0z1232z123z121,1z2220,z0

3

z2z3,0z12

综上：Fz。较难。3

2z123z121,1z2221,z2

（23）考察一维随机变量函数的分布；无偏估计。（Ｉ）FtPTtPmaxX1,X2,X3tPX1t,X2t,X3tPX1tPX2tPX3tPXtFXt3

3

ft3FXtfXt9t8,0t90,其他（II）即求使得EaT成立的a。2EaTaETa0t

9t8

9dt

9a10

a。较易109

整体来看，数学一相比去年较难，主要体现在综合性题目较多，计算量明显增大。但如果一个学生的基础计算能力较扎实，这个“难”能不能再算数就需要再讨论了，因为除了极个别的大题（如19题、22题），其他大题的逻辑思路比较明朗，题目不算难，只是计算量着实大，对学生的计算能力要求高，由此可看出研究生选拔考试对学生计算能力很是重视。综上，2016年考研数学一题目偏向综合性强的基础题型，但计算量大，对基础计算能力要求高。