教学设计要“抓紧”学生——排列组合综合习题课案例分析

《数学之友》　２０１１年第２０期　教学设计要“抓紧＂学生　排列组合综合习题课案例分析　李小飞　（南京师范大学附属中学，２１０００３）　数学包含知识、方法、思想．数学思想是数学的　师总结：弄清题意，问题就解决了一半，在解题　精髓，要让学生在力所能及的范围内，体会、实践，提　炼数学思想，如特殊化、一般化、类比、化归、方程的　数学思想．　数学是思想的体操，要让学生始终处在思维的　最近发展区，积极思考，“跳一跳就能摘到果子”．这　里主要就是对于问题的设置，要有层次性，有梯度，　一环套一环，解决完一个问题之后，又自然地出现了　另一个问题，引学生人胜．这里可以展示教师的教学　魅力，可以通过语言的抑扬顿挫，让问题更富有趣味　性，吸引学生的注意力，鼓励学生积极思考．　１情景设置——提出问题　教师出示幻灯片：５个小球分放在３个盒子，共　有多少种方法？　设计意图：问题１其实条件不全，无法解决，在　此以开放题的形式出现，教师是希望学生自己填上　条件，提出问题，想出方法．　预设：学生上来就开始做题，没有人提出质疑，　甚至已经有了错误的答案；或者学生能够发现题目　的意思不清楚，则教师可以顺势而为．　学生思考２分钟左右后，教师提问：结果是　什么？　学生１：有ｃ；种．　教师继续追问：为什么？　学生在下面开始窃窃私语，有人提出，题目表述　不清楚，不好做．　教师：你们想再添上什么样的条件使得题意　明确？　学生２：小球不同，盒子不同都可以了．　教师：很不错，请坐．你们有什么不同意见？总　共有几种情况？　学生３：总共有４种情况：小球是否相同，盒子　是否相同．　教师：说的很好，思考问题非常有条理．　中我们要特别注意审题的重要意义，要养成认真审　题的习惯．　２解决问题，形成方法，完成辨析　学生编题：　（１）５个相同的小球分放在３个相同的盒子里，　共有多少种方法？　（２）５个相同的小球分放在３个不同的盒子里，　共有多少种方法？　（３）５个不同的小球分放在３个相同的盒子里，　共有多少种方法？　（４）５个不同的小球分放在３个不同的盒子里，　共有多少种方法？　例１将５个相同的小球分放在３个相同的盒　子里，共有多少种方法？　预设：方法一：先每个盒子放一个小球，则还剩　下２个小球，可以分别放进一个盒子或两个盒子，这　样盒子里面的小球数可以是１，ｌ，３或ｌ，２，２，则有２　种方法；方法二：直接分成２类．教师在下面巡视，请　两位同学上黑板板书．刚好有两位同学的思路符合　老师的预设．　教师：两位同学给出了两种方法，书面表达也非　常清晰、简练，请同学点评一下．　学生４：方法ｌ用到了分步计算数；方法２用到　了分类计数原理．　教师：用到了两种方法，你喜欢哪一种？　学生４：（犹豫）差不多．　教师：其实，当问题比较多的时候，特别是小球　不同的时候，方法１往往会重复而出错；方法２不会　出问题，这点我们以后慢慢体会吧．　例２将５个相同的小球分放在３个不同的盒　子，共有多少种方法？　预设：这里学生的思路可能比较多，既然喊了一　个学生回答，就必须把它的思路分析透彻才行．　・３１．　《数学之友》　２０１１年第２Ｏ期　一教师仍然安排两个学生上黑板：（两人的方法　样）　学生５：用分类讨论的办法：５个小球分给３个　程的解的问题，各个盒子可以依次假设放的小球数　为　ｌ，　２，…，　，贝０不定方程　１＋　２＋…＋　＝ｒ，ｒ∈　Ｎ’的正整数解的个数，即为Ｃ　ｎ－１．　不同的盒子，可以分成２种情况：第１类是把小球分　成１，ｌ，３三组，再放到３个盒子里，共有　种方法；　第２类是小球分成１，２，２三组，再放到３个盒子里，　共有ｃ　种分法，共有ｃ　＋Ｃ　＝６种．　教师：每做完一题，我们总要反思一下：我们能　解这一类问题吗？如果将条件或结论稍加变化，我　是不是还能够解决呢？请大家求不定方程　＋　＋　弘＝６的非负整数解的个数．　让学生静静地思考．　学生１０：用换元法：设　１＋ｌ＝Ｙ１，　２＋１＝Ｙ２，　３　教师：条理清晰，先分类，对于第一类，优先考虑　有３个小球的那组有ｃ　位置；对于第二类，优先考　虑有１个小球的那组有ｃ　个位置．很好！谁还有其　他的想法？　学生６：第一步，先放３个球；第二步第四个球　有３个位置，第５个球有３个位置，共有９种方法．　教师：他的看法可以吗？你们有什么不同意见？　小组同学可以在独立思考后讨论．　师生一起分析问题的症结：　学生７：第４个球和第５个球都可能放在ｌ号盒　子中，这和第５个球和第４个球也可能放在ｌ号盒　子里，这样就出现重复了．　教师：他指出了问题的症结，这也是我们在问题　１中方法ｉ中可能会出现的错误，这点大家要引起　足够的重视．　教师同时鼓励学生６：“虽然你的回答不太准　确，但你的回答为大家提供了思路，你的功劳是非常　大的，谢谢你．”　教师：谁还有与众不同的想法？学生沉默．　这时教师在黑板上并排地画出５个相同的圆圈　表示这５个相同的球．　进行启发：把小球看成位置，盒子看成是元素．　学生８：可以在这５个相同的小球形成的４个　空中任选出两个空，就可以把它们分成３组了，即有　Ｃ　＝６种方法．　教师：很好，你的思维非常敏捷，很了不起．　教师：下面我们来稍微总结一下，这两种方法你　喜欢哪一种？可以让我们知道吗？　学生都回答方法２，比较简单，深刻．　教师：解题的最后环节是回顾，本小题中用到了　什么样数学思想或方法，你能推广吗？　小组讨论，并给出推广的结论．　学生９：ｎ个相同小球放入／７／，个盒子里，要求每　个盒子里至少有一个小球的方法等价于／／，个相同小　球间隙里插入ｍ一１块隔板，有Ｃ　ｍ－１种方法．　教师：很好，我们把这样的方法形象地称为“隔　板法”，其实隔板法的本质可以转化成一个不定方　・３２・　＋１＝Ｙ３，这样原问题就可以转化为Ｙ１＋ｙ２＋Ｙ３＝９　的正整数解的个数的问题了，即ｃｉ个解．　师：你能将这个问题一般化？　学生１ｌ：求不定方程　１＋　２＋…＋　：ｒ，ｒ∈　Ｎ　的非负整数解的个数，即为Ｃ　ｎ－　１个．　教师总结：当我们解题遇到障碍时，首先是要正　确理解题意；接着去想一道相类似的题，对于这道类　似的题，你能利用它的结论吗？我们这里刚好有一　道类似的题，你能利用这道题吗？若学生还是没有　思路，可以进一步启发：正整数解是每个数都要大于　等于１，而非负整数解是每个数都要大于等于０，他　们相差无几？你有办法缩小这个差异吗？（前面是　元认知提问，由暗到明，分层提问）　教师：当然我们要重视的是方法而不是结果．数　学是基本学科，是其他学科的工具．我们可以举一个　化学竞赛中的问题：甲烷和氟、氯、溴、碘混合发生化　学反应（氟、氯、溴、碘都可以取代氢原子），可能生　成的产物有多少种？　学生１２：假设这种产物中氢原子数有　，氟原　子数有　，氯原子数有　，，溴原子数有　，，碘原子数　有　５，即转化为满足不定方程　１＋　２＋　３＋　４＋　５＝　４的非负整数解的个数，即有ｃ：个解，当然最后还　要减去甲烷本身，即共有　一１种化合物．　例３将５个不同的小球分放在３个相同的盒　子，共有多少种方法？　如何启发？如何设置启发的问题串？　预设：教师在下面巡视，观察学生做题的情形，　可能会出现以下两种情形，请学生上黑板板书．　学生１：分成２类：　ｒｌ　ｒ１　１　ｌ　３，共ｃ；　二：　＝１０种．　／、２，１２　１　２　２，共Ｃ　１，．４　Ｌ，２＝１５种．　二！　，１１，１１　，１２　２　依分类计数原理：Ｃ；　＋ｃ　＝２５种　《数学之友》　２０１１年第２Ｏ期　方法．　教师：“真不简单，这么复杂的问题，谜底很快　被你揭开了，表明你认识问题的深邃和敏捷．”　这里学生的理解是有困难的，先设计让学生自　后再分给３个不同的盒子，有Ｃ　・　Ｌ，４　Ｌ￣２・Ａ；＝３０种　Ａ２　分法，由分类计数原理，将这２类结果相加即可，共　有９０种方法．　己探索如下：　一般地，把４个元素平均分成两份，不同的分法　师：太好了，你能够洞察问题的本质所在，说明　你对“分堆”理解的很深刻．　问题：本小题解决过程中用到了什么样数学思　为　等；把６个元素平均分成三份，不同的分法为　想或方法？你会做出怎样的问题？　＾２　Ｃ４／．￣２ｉ，，２；把８个元素平均分成４份，不同的分法　３　提示：“先组合后排列”是解决这类问题的　关键．　ｃ　ｃ：ｃ：ｃ；　Ａ　’　３总结提升　师：今天我们一起研究了一些有关排列组合的　问题，真正聪明的人善于从已经学过的知识不断归　纳总结，获得新的收获，通过今天的学习，你从中学　到了哪些东西呢？（这里让学生畅所欲言）　学生答出以下几点：　问题：解题的最后环节是回顾，本小题中用到了　什么样的数学思想或方法？　提示：“会分堆”，要注意的是求分堆种数时，先　依次分好各堆，然后看有几堆个数相同，须除以几的　全排列．　例４　５个不同的小球分放在３个不同的盒子，　（１）善于利用分类去解决问题，很多问题只要　一共有多少种方法？　如何启发？如何设置启发的问题串？　分类都好解决；　（２）直接考虑问题较为困难时，不妨考虑间　学生２：分２类：第１类，５个小球分成１，１，３三　接法；　堆，然后再分给３个不同的盒子，有ｃ；．　＝．Ａ；　（３）几个常见的排列、组合模型；　（４）回归到根本，解决这类问题关键是考虑做　的事情是什么？怎么做？分步还是分类？　６０种分法；第２类，５个小球分成１，２，２三堆，然　（上接第３０页）　的体验，这将激发学生学习数学的热情，有利于学生　自我表现能力的提高和良好心理素质的养成．　对策：　由于差别大，目标不同，学习积极性也高低不　（４）重视模拟题的诊断性．对于模拟题的讲评，　教师不要只说答案，或者告诉学生应该怎么作，而应　通过问题，提示学生思考自己在解题时暴露了哪些　问题，什么性质的问题等，特别要提倡学生自己总　等，１Ｏ个月时间复习完，时间紧，任务重，若按部就　班复习，一是时间不允许，二是学生感到我都复习过　了没有兴趣．因此，复习班的数学教学：　（１）重视双基教学．教师要精选习题，使其针对　性强，让学生普遍感到有收获．　（２）重视学生主体性．对于有些中等题，可以请　成绩较好的同学上台讲解．学生“自我表现”的欲望　结，通过不断的总结、归纳，使其自身的学习能力获　得提高．　参考文献：　被调动起来后，往往能认真阅读课本，积极思考问　题．而老师只需不断纠正、完善学生讲解中的不足就　可以了．　［１］　张奠宙，等．数学教育学［Ｍ］．南昌：江西　教育出版社，１９９６．　［２］　张奠宙．数学教育研究导引［Ｍ］．南京：　江苏教育出版社，１９９８．　（３）重视题目的典型性．对于近几年的高考题　和课本的典型练习题，教师可以鼓励学生一题多解，　并组织学生对新颖的解法进行交流，使其获得成功　［３］　唐瑞芬．数学教学理论选讲［Ｍ］．上海：　华东师范大学出版社，２００１．　・３３・